初中数学如何做难题

【来源：易教网 更新时间：2026-02-10】

首页小学教育中学教育大学教育

小墨老师 V管理员 /-02-02 03:35:32/14阅读/0评论

0202

方法 具体操作 适用题型 示例 排除选项法 对于选择题，从四个选项中排除掉易于判断是错误的答案，剩下的一个自然就是正确的答案。

选择题 已知：如图，\( ΔABC \)和\( ΔADE \)都是等腰直角三角形，\( ∠BAC=∠DAE=90° \)，\( M、N、P、Q \)分别是\( BC、CD、DE、BE \)的中点；

求证：四边形\( MNPQ \)是正方形，本题可先排除明显错误的选项，如不符合正方形定义的选项等，再进一步分析和证明。赋予特殊值法 根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理。

多种题型，如代数、几何探索规律问题等 在平面直角坐标系中，已知\( A(0,4),B(-2,0) \))，把\( ΔABO \)绕点\( A \)顺时针旋转\( 120° \)，得\( ΔAB'O' \)，点\( B、O \)的对应点为\( B'、O' \)，边\( OB \)上的一点\( P \)旋转后的对应点为\( P' \)，当\( O'P+AP' \)取得最小值时求点\( P' \)的坐标，可先赋予特殊值，如假设\( P \)为\( OB \)的中点等，来简化计算和推理。

直接求解法 直接由题目的条件出发，通过正确的运算或推理，直接求得结论，再与选择项对照来确定选择项。填空题、解答题等 解方程\( x^{2}-5x+6=0 \)，可直接因式分解为\( (x-2)(x-3)=0 \)，得到\( x_{1}=2, x_{2}=3 \)。

配方法 把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式解决数学问题。

一元二次方程、函数最值等问题 用配方法将二次函数一般式变为顶点式，如\( y = x^{2}-4x + 5 \)可化为\( y=(x-2)^{2}+1 \)，从而可求出其最值为1，对称轴为直线\( x=2 \)等。因式分解法 把一个多项式化成几个整式乘积的形式。

一元二次方程、代数式化简等 解方程\( x^{2}-3x=0 \)，可因式分解为\( x(x-3)=0 \)，得到\( x_{1}=0, x_{2}=3 \)。换元法 在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化。

整式化简、方程求解等 化简整式\( (x+y)^{2}-2(x+y)(x-y)+(x-y)^{2} \)，可令\( a=x+y, b=x-y \)，则原式\( =a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}=(x+y-x+y)^{2}=(2y)^{2}=4y^{2} \)}。

判别式法与韦达定理 判别式可用于判断一元二次方程根的情况，韦达定理可表示出两根之和与两根之积的关系。

一元二次方程相关问题 已知一元二次方程\( x^{2}-3x-1=0 \)的两个根为\( x_{1}, x_{2} \)，求\( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \)的值，可根据韦达定理得到\( x_{1}+x_{2}=3, x_{1}x_{2}=-1 \)，再由\( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2} \)代入计算即可。

待定系数法 若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题。

函数解析式求解、方程求解等 已知二次函数的图象经过点\( (0,1), (1,3), (-1,5) \)，求这个二次函数的解析式，可设二次函数解析式为\( y=ax^{2}+bx+c(a≠0) \)，然后将已知点的坐标代入得到方程组，解方程组求出\( a, b, c \)的值。

构造法 通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，如图形、方程(组)、等式、函数、等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决。

多种题型，如几何证明、函数问题等 如图，\( ΔABC \)中，\( ∠BAC=90°, AB=AC, P、Q \)是\( BC \)上两点，且满足\( BP^{2}+CQ^{2}=PQ^{2} \)，则\( ∠PAQ \)的度数是 °，可构造辅助线，作\( AD⊥AP \)且\( AD=AP \)，连接\( DQ \)，通过证明\( ΔABP≌ΔADC \)和\( ΔAPQ≌ΔADQ \)来求解。

面积法 运用面积关系来证明或计算平面几何题。

平面几何题 如图，在\( ΔABC \)中，\( AB=AC, D \)是\( BC \)上任意一点，过\( D \)分别向\( AB, AC \)引垂线，垂足分别为\( E, F, CG \)是\( AB \)边上的高，问：\( DE, DF, CG \)的长之间存在着怎样的等量关系？

并加以证明，可连接\( AD \)，利用三角形的面积公式得到\( S_{ΔABC}=S_{ΔABD}+S_{ΔACD} \)，即\( \frac{1}{2}AB\cdot DE+\frac{1}{2}AC\cdot DF=\frac{1}{2}AB\cdot CG \)，因为\( AB=AC \)，所以可得\( DE+DF=CG \)。

几何变换法 包括平移、旋转、对称等变换，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。

几何图形相关题型 如图，\( ΔABC \)中，\( ∠BAC=90°, AB=AC, P、Q \)是\( BC \)上两点，且满足\( BP^{2}+CQ^{2}=PQ^{2} \)，则\( ∠PAQ \)的度数是 °，可将\( ΔABP \)绕点\( A \)逆时针旋转90°得到\( ΔACD \)，使\( AB \)与\( AC \)重合，然后证明\( ΔADP≌ΔADQ \)来求解。

反证法 先提出一个与命题的结论相反的假设，然后从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。证明题 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设每一个锐角都大于45°。

（图片来源网络，侵删）